La métrique la plus simple, et probablement la plus fréquemment utilisée (même si ce n'est qu'implicitement), consiste à compter le nombre de pas entre les racines des accords le long d'une ligne de quintes unidimensionnelle (ou cercle des cinquièmes, si vous autorisez les harmoniques et l'arithmétique modulaire). Je dis que c'est la plus fréquemment utilisée parce que les progressions d'accords où la racine monte ou descend d'un quart ou d'une cinquième (qui ont une distance d'un par cette métrique) sont les plus fréquemment utilisées dans de nombreux styles de musique occidentale, indiquant que ces accords sont «proches» dans un certain sens. Dans votre progression, cette métrique donnerait des distances de 3, 1, 1, 1. Cette métrique a la propriété de bien jouer avec la musique tonale, puisque la relation tonique / dominante qui définit la tonalité a une distance de un. Et même si vous commencez à vous éloigner légèrement des accords qui sont dans votre ton actuel, vous finirez par visiter des touches «étroitement liées». De plus, comme cette métrique ne regarde que les racines, elle ne se soucie pas intrinsèquement de la qualité des accords (majeur contre mineur) ou des extensions (septième, neuvième, etc.).

Dom a déjà évoqué une deuxième métrique possible: le nombre de sons communs (ou plus précisément, le nombre de tons peu communs). Plus deux accords ont de tons en commun, plus ils sont considérés comme "proches". Cela fonctionne particulièrement bien si vous tracez des accords sous forme de formes dans une grille Tonnetz. Dans ce cas, toutes vos triades sont considérées comme des triangles. Les accords "les plus proches" par cette métrique sont ceux qui partagent deux tons communs, ce qui entraîne un "retournement" graphique du triangle le long de l'un de ses trois bords. Cela impliquerait, par exemple, que l'accord de Do majeur est également proche de Do mineur, Mi mineur et La mineur (un seul flip transformera toujours un majeur en mineur, et vice versa ). Dans la théorie néo-riemannienne, ces types de transformations sont même nommés: Parallèle (P), Ton principal (L) et Relatif (R), respectivement. Il y a des transformations plus complexes entre des accords ne contenant qu'un seul ton commun. Ignorant la 7ème pour plus de simplicité, cette métrique donnerait à votre progression les distances suivantes: 1, 2, 2, 2. Cette métrique est moins limitée par la tonalité et plus axée sur la voix. Cela peut expliquer plus facilement la "proximité" d'accords comme C et A ♭ qui seraient traditionnellement très éloignés. En tant que tel, il est plus adapté à la musique romantique, où ces progressions traditionnellement distantes sont plus courantes. Cette métrique prend également en charge différents types d'accords.

Il existe une métrique encore plus complexe qui a été développée par Dmitri Tymoczko dans A Geometry of Music , impliquant des orbifolds à n dimensions, mais je ne peux pas prétendre en être très familier. Il est bien adapté pour vous faire oublier la musique et vous concentrer sur les abstractions mathématiques.

Ceci est une grande partie de la voix principale spécifiquement où vous recherchez des tons communs entre les accords dans l'harmonie et comment vous pouvez en profiter lors de la transition entre eux.

Ce n'est pas vraiment une formule autant que l'évaluation de la relation entre les deux accords. L'idée de base est de simplement regarder quelles notes, le cas échéant, sont communes et si les notes bougent de combien.

Dans votre exemple, C qui a les notes C-E-G et A7 qui a les notes A-C # -E-G a 2 tons communs et est lié. Si vous exprimiez ces accords de style choral à 4 parties, vous verrez peut-être les deux accords exprimés comme ceci:

Comme vous pouvez le voir , 2 des notes ne bougent pas. Une note, dans ce cas le ténor, se déplace chromatiquement vers le haut ce qui est très peu de mouvement et l'autre à déplacer est la note de basse par 3e qui est un peu plus éloignée. Cependant, vous devez noter qu'il y a généralement plus de mouvement dans la ligne de basse.

Comme je l'ai dit, ce n'est pas une formule, mais c'est un très bon moyen d'évaluer de quoi vous parlez.

En mettant mon chapeau de mathématicien, la notion de distance dépend de nombreux facteurs. La vraie question est de savoir ce que vous recherchez lorsque vous dites distance? Voulez-vous dire que vous recherchez la similitude harmonique? Voulez-vous dire une sorte de mesure de la similitude auditive? Voulez-vous dire comment ils se rapportent sur le cercle des quintes?

La construction d'une distance euclidienne n'est pas vraiment pertinente car elle est destinée à mesurer une distance physique. Les arguments théoriques de groupe sont destinés à parler des relations entre les progressions d'accords, mais sont construits sur une structure en réseau ou en treillis. Lorsque nous utilisons des treillis, nous avons de nombreuses mesures différentes de la distance dont chacune a une signification pertinente pour le réseau examiné.

Nous pourrions également examiner la construction de la similitude temporelle. Ici, nous écrivons chaque accord en fonction de sa forme mathématique (ondes sinusoïdales, etc.) et examinons ensuite les distances entre les signaux au fil du temps. Donc, en fin de compte, l'utilisation du terme distance nécessite plus de définition avant de pouvoir vraiment répondre à la question.

Il existe d'autres façons de définir la «distance» harmonique. Par exemple, on pourrait utiliser le réseau à 5 limites comme une «carte» sur laquelle le paysage harmonique se déploie par quintes (W-E) et tiers (N-S). Ensuite, nous pourrions suivre la séquence d'accords au fur et à mesure qu'elle se déplace, littéralement, sur la carte.

Le seul problème est celui de l'accord ii, qui remplit une double fonction et nous transporte à travers la carte en un instant ( de la sous-dominante «ouest» à la dominante «est»). (Voir ' Expérience harmonique' de WA Mathieu, par exemple.)

Une autre façon, quoique étroitement liée, de voir la distance est d'utiliser la théorie néo-riemannienne et le tonnetz . Ensuite, la distance pourrait être suivie de la même manière et peut-être définie comme le nombre de transformations nécessaires pour passer d'un accord à l'autre.

Dans le cas de C -> A, nous aurions besoin de deux transformations: R et P.

Quelques articles savants traitent de cette question même; Je vais en résumer deux ici.

Dans "Square Dances with Cubes" de Richard Cohn, l'auteur discute de ce qu'il appelle "les sommes dirigées par la voix dirigée" (ou "DVLS" ). Afin de trouver le DVLS entre deux accords, il vous suffit d'ajouter ensemble les classes de hauteur du premier accord (mod 12), les classes de hauteur du deuxième accord (également le mod 12), et de soustraire la première somme de la seconde.

Par exemple, de Do majeur à Sol majeur, nous avons CEG ({0 4 7}, qui ajoute à 11) qui passe à GBD ({7 11 2}, qui ajoute à 20, ou 8 mod 12). Nous soustrayons ensuite 11 de 8, qui est -3, ou 9 mod 12; la somme dirigée par la voix dirigée de do majeur à sol majeur est donc de 9. Comme prévu, c'est une distance plus grande que de, disons, do majeur (11) à ré majeur (5), qui a un DVLS de 6.

Dans un article similaire de Seth Monahan intitulé «Voice-Leading Energetics in Wagner's 'Tristan Idiom'», l'auteur parle de «métriques de déplacement cinétique» ou «KDM». Ce qui est important ici (et ce qui est différent du DVLS de Cohn), c'est que Monahan mesure également la direction.

Revenons à l'exemple où le do majeur se déplace vers le sol majeur. Dans ce cas, on peut comprendre qu'il y a un ton commun entre les deux accords (donc un mouvement de 0 demi-pas); les autres voix se déplacent de C à B et de E à D. Puisque C à B est en baisse d'un demi-pas (-1) et E à D est en bas d'un pas entier (-2 demi-pas), nous additionnons ces distances pour voir que cette progression a un KDM de -3. Comme pour le DVLS de Cohn, une valeur absolue plus élevée suggère une plus grande distance entre deux accords.

Pour toute personne intéressée par les réalités cognitives de ces distances, je suggère "Perceived Triad Distance: Evidence Supporting the Psychological Reality of Neo-Riemannian Transformations " par Carol Krumhansl.