Question:
Dans l'accord de Pythagore, quelle est la fréquence de la tonique de chaque touche?
Shimmy Weitzhandler
2014-06-05 10:34:02 UTC
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Lorsque vous jouez d'un instrument sans frettes (comme le violon), quelle fréquence utiliser pour accorder le début de chaque touche?

Je crois que pour la majeur et la mineur, 440Hz est la tonique. Quelle sera la fréquence du do en do majeur?

Que diriez-vous du si bémol majeur? Quelle devrait être la fréquence du tonique Sib? Est-ce que c'est comme le m2 de l'échelle A majeur? Peut-être comme le 7e de la gamme en do majeur?

Est-il réglé selon Just Intonation? Equal Temperament?

Je recherche plutôt la formule qui permet de calculer la tonique de chaque touche, plutôt qu'une liste qui pourrait également être pratique.

UPDATE
J'ai peur de ne pas être si clair, alors laissez-moi essayer de vous expliquer à nouveau.
En général, je parle d'instruments sans frettes en accordage standard (A = 440Hz). Le jeu standard sur ces instruments serait pythagoricien. Cependant, que faire si vous voulez jouer en si bémol majeur. Utilisez-vous le Sib de tempérament égal ou quoi?

MISE À JOUR sur les réponses de Caleb Hines et à gauche à propos de.
C'est presque évident que le Bb bas ( 465.12Hz ) du Do majeur de Pythagore ( C = 261.63Hz ), et même le A # aigu ( 471,47Hz ), les deux n'ont aucun sens à utiliser comme tonique du si bémol majeur.
Vous avez donc raison de dire que la corde ouverte A va de toute façon être un peu basse pour une oreille pythagoricienne. Quoi qu'il en soit, la question est de savoir quel compromis prenons-nous, est-ce le Bb de ET ( 466.16Hz ) ou les JI ( 466.16Hz ).
Je suis curieux de savoir ce qui la norme parmi les joueurs de cordes d'orchestre (les violoneux devraient évidemment s'accorder sur ET).

P.S. J'ai choisi Bb comme exemple, mais la question s'applique à d'autres clés comme A # (question résolue si la réponse est ET).

A = 440Hz ne sonne vrai que dans certaines parties du monde, et même certains orchestres choisissent d'avoir un point de référence différent, mais pour votre concept, 440 est un bon début. Bb serait le 7e de l'harmonique C ou mineur naturel plutôt que Cmaj. C'est B naturel.
@Tim Dans Just Intonation, quelles sont les fréquences des autres notes en tant que notes fondamentales (pas en tant qu'intervalles, ni en relation avec d'autres notes).
Dans une réponse précédente, Wheat Williams a publié un graphique avec des fréquences comparatives pour les notes. Cela ne répond pas à la question, mais cela peut être un point de départ. Désolé, je ne peux pas le retrouver.
Comment le premier paragraphe de ma réponse ne répond-il pas à cela, car il spécifie que vous souhaitez utiliser 12TET (qui est Equal Temperament), à moins que les personnes avec lesquelles vous jouez n'utilisent spécifiquement quelque chose de différent. Vous avez également demandé une formule que j'ai donnée. (De plus, le titre de votre message ne pose pas vraiment la même question).
Cinq réponses:
#1
+6
cyco130
2014-06-05 14:53:00 UTC
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Tout d'abord, Pythagore (PT), Just Intonation (JT) et Equal Temperament (ET) sont différents (familles de) accordages. Par conséquent, les fréquences des notes seront différentes dans chaque cas. Vous pouvez trouver des graphiques de fréquence pour eux sur Wikipedia.

Pour tout réglage, vous avez besoin d'une fréquence de référence. Actuellement, 440 Hz pour A au-dessus du C médian est la norme la plus utilisée. Mais historiquement, ce n'était pas le cas et certains orchestres s'accordent encore différemment.

Accordage pythagoricien

PT est une famille d'accordages basés uniquement sur quintes parfaites , c'est donc un sous-ensemble de la famille d'intonation juste. La quinte parfaite est la transposition de la troisième harmonique des sons musicaux jusqu'à la même octave que la fondamentale. La division d'une fréquence par deux la transpose d'une octave vers le bas. La fréquence de la troisième harmonique est trois fois la fondamentale. Par conséquent, une quinte parfaite correspond à 3/2 de la fréquence de la fondamentale.

PT fonctionne en commençant sur une fréquence sélectionnée et en se déplaçant par quintes parfaites (et en les transposant jusqu'à la même octave). Donc les rapports de fréquence sont 1, 3/2, 9/8, 27/16 ... La formule générale est 3 ^ n / 2 ^ n (et ensuite vous la transposez à votre octave par en le divisant par deux autant de fois que nécessaire).

Un problème est qu'une pile de quintes parfaites ne peut jamais totaliser une octave. Le cercle des cinquièmes ne peut pas être fermé. Après 12 étapes consécutives, à partir de C, (C G D A E B F # C # G # D # A # E # B #) vous vous retrouvez avec un B # proche, mais pas tout à fait égal à C; le rapport est 3 ^ 12/2 ^ 19 et c'est environ un quart de demi-ton plus net, ce qui est très perceptible. En d'autres termes, C # ≠ Db dans PT. En conséquence, si vous voulez vivre avec seulement 12 notes, certaines de vos quintes seront désaccordées. C'est ce qu'on appelle un intervalle de loup.

Il y a aussi un autre problème: la tierce majeure de Pythagore (81/64) est trop nette par rapport à la tierce majeure JT (5/4, voir au dessous de). Cela rend cet accord pratiquement inutile pour l'harmonie triadique.

Just Intonation

JT est basé sur des ratios entiers. Il s'efforce de rendre tous les intervalles justes (si nous ne faisons que les quintes, il est généralement étiqueté PT). Par exemple, une gamme majeure peut être créée avec les triades majeures (rapports = 4: 5: 6) construites sur la quarte fondamentale, parfaite (4: 3) et la quinte parfaite. Cela vous donnera C = 1 D = 9/8 E = 5/4 F = 4/3 G = 3/2 A = 5/3 B = 15/8.

C'est harmoniquement très agréable tant que vous vous en tenez aux triades I, IV, V, iii et vi. Mais la triade ii est désaccordée. Ce sont les intervalles de loup de cette gamme majeure JT particulière. Vous pouvez le réparer en abaissant le D par exemple, mais cela cassera l'accord G, et essayer de le réparer cassera autre chose. Il est impossible d'obtenir tous les accords correctement sans ajouter de nouvelles notes à la gamme.

Quels sont alors les rapports de fréquence des notes avec des altérations? La réponse est que cela dépend. La septième mineure (Sib) peut avoir le rapport 16/9, 9/5 ou 7/4 selon l'effet que vous souhaitez obtenir.

Encore une fois, vous aurez besoin de plus de 12 notes pour utiliser JT, même dans une seule clé.

Tempérament égal

ET divise simplement l'octave en 12 intervalles égaux. Aucun des intervalles n'est "juste" (sauf pour l'octave), mais la plupart d'entre eux sont dans des limites presque tolérables: c'est un compromis; il n'y a aucun moyen d'avoir les accords parfaitement accordés et la liberté de moduler sur n'importe quelle touche que vous voulez avec un nombre raisonnable de hauteurs (par exemple, des touches de piano).

Pour entendre la différence, écoutez un bon quatuor de barbier puis jouez les mêmes accords sur un instrument ET comme un piano. Les belles qualités de sonnerie des accords auront disparu.

Quoi qu'il en soit, ET divise l'octave également en 12, donc le rapport entre les notes adjacentes (comme C et C #) est la douzième racine de 2 ( 2 ^ (1/12) ≈ 1.05946309436). Vous partez de votre fréquence de référence (disons, A = 440) et multipliez-la par ce nombre pour chaque note consécutive. Voici un graphique.

Vos sources qualifient Pythagorean Tuning de Just Intonation. Pythagorean Tuning est-il vraiment une "famille différente"? L'accord de Pythagore n'est-il pas une forme de juste intonation? Le réglage de Pythagore est également basé sur des rations entières.
De plus, bien que ce soit très instructif et intéressant, je ne pense pas que cela réponde à la question. Je crois que le demandeur sait ce que sont ET et JI. Son doute porte sur la fréquence de la note fondamentale. Il sait comment se forment les intervalles, mais il ne sait pas comment la fréquence du fondamental est choisie.
#2
+5
Caleb Hines
2014-06-05 18:38:29 UTC
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Réponse courte, ces jours-ci, pour trouver un tonique, vous voulez probablement utiliser ET (en particulier 12-TET) parce que c'est ce que tout le monde utilise. Cependant, cela peut dépendre de ceux avec qui vous jouez et de ce qu'ils utilisent, alors réglez-les.

Premièrement, aucun des systèmes de réglage que vous mentionnez ne spécifie de hauteur de référence inhérente, donc vous ' J'en aurai besoin aussi. On dirait que vous optez pour le standard moderne A4 = 440. Deuxièmement, à proprement parler, JI n'est pas en fait un système de réglage unique, mais plutôt une spécification selon laquelle deux (ou plus) intervalles doivent être de petits rapports l'un de l'autre. Je vais me concentrer sur les deux autres.

Pythagorean Tuning utilise des quintes et octaves justement intonées (mais pas d'autres intervalles) pour générer toutes ses notes. Comme une série de quintes correctement réglée ne fermera jamais l'octave (comme le mentionne cyco), PT spécifie les hauteurs pour une ligne de quintes entière. Seuls 12 d'entre eux apparaissent sur un clavier, et il y aura un horrible "loup cinquième" là où ils ne correspondent pas. La formule est:

  f = f0 * (3/2) ^ x  

f0 est la fréquence de votre la hauteur de référence et x est le nombre de cinquièmes que vous êtes loin de la note de référence (un x négatif est OK). Notez que vous devrez peut-être multiplier ou diviser votre réponse par 2 plusieurs fois pour obtenir la fréquence dans une plage utilisable. ( f0 < f < 2 f0 est dans l'octave au-dessus de f0 , tandis que f0 / 2 < f < f0 est dans l'octave ci-dessous, etc ...).

Pour un tempérament égal à 12 tons (12TET) chacun la cinquième est pressée de sorte que les octaves s'alignent et le cercle est fermé. Il n'y a pas de quinte de loup laid, mais aucun intervalles (à part les octaves) sont justement intonés. La formule est:

  f = f0 * 2 ^ (x / 12)  

f0 est à nouveau la fréquence de votre pas de référence, mais ici x est le nombre de demi-pas au-dessus (positif) ou en dessous (négatif) de votre pas de référence. Notez que pour x = 12, vous obtenez simplement le doublement d'octave.

#3
+4
leftaroundabout
2014-06-08 16:54:00 UTC
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Eh bien, cela dépend.

Lorsque vous jouez avec des instruments accordés à 12 edo, vous n'avez pas d'autre choix que de vous adapter à leur racine: ce ton doit être parfait, que vous restituiez ou non un tiers / tons principaux dans juste / intonation pythagoricienne d'une manière que ces instruments ne peuvent pas.

Même en jouant dans un ensemble à cordes ou seul, 12-edo est une option tout à fait raisonnable pour la racine, étant un si bon compromis "taille unique". Cependant, il n'est pas vraiment pratique de choisir une référence 12-edo avant de commencer à jouer. De plus, il ne reste que cela: un bon compromis!

Une manière beaucoup plus naturelle de rechercher une référence est dans les chaînes ouvertes. Deux façons évidentes de le faire:

  • Restez fidèle à Pythagore. Vous pouvez brachiser le cercle des cinquièmes, c'est-à-dire G-c, C-f, f-B ♭. Cela vous amène au "parfait Pythagore B ♭" (les fréquences données dans la réponse de dan04). Cependant, en plus d'être difficile à trouver, ce n'est pas vraiment utile pour jouer de la musique en si majeur. Le problème principal: un double arrêt entre ce B ♭ et la chaîne de D ouverte est une tierce majeure de Pythagore. Bien si vous aimez les chants grégoriens, mais pour tout ce qui est postérieur à 1600, c'est assez horrible. Et il n'y a aucun moyen de corriger une chaîne ouverte vers le bas.
    Vous pouvez vivre avec cela si vous évitez les chaînes ouvertes, du moins les basses. Chose assez courante à faire depuis la période romantique. La chaîne A ouverte constitue en fait une note de début utilisable dans cet accord.

  • Mais l'OMI est préférable d'accorder ce très double arrêt B ♭ -d à juste intonation (limite de 5). Cela se fait rapidement et s'intègre naturellement avec les doubles butées que l'on retrouve dans de nombreuses pièces. Vous pouvez toujours jouer les aspects mélodiques en Pythagore, en particulier la note principale A doit être un peu plus haute que la corde vide. Mais pour l'harmonie, les cordes vides sont beaucoup plus difficiles à éviter, vous devez donc adapter l'accordage pour aller naturellement avec cela.
    Un argument peut-être plus convaincant pour cette stratégie est de penser que vous jouez réellement en sol mineur. Le réglage de la triade en sol mineur G-D-b ♭ vous donne le même b ♭ aigu 1 . Ensuite, vous omettez simplement la racine G.
    La fréquence de ce JI-B ♭ 4 est

    440 Hz ⋅ ⅔ ⋅ ⅘ ⋅ 2 ≈ 469,3 Hz

    Notamment plus élevée que dans les deux Pythagore et 12-edo.

Alors, quelle est la norme? Je ne pense pas qu'il soit possible de le dire. Le diapason oscille en fait un peu, même ( particulièrement ?) Dans de bonnes performances. Dans cette interprétation du 6e quatuor à cordes à la fin de l'exposition, nous pouvons entendre une double dominante en do extrêmement aiguë, suivie d'un B ♭ plutôt plus bas (comparé à WRT 12-edo) dans la répétition. Mais je n'en conclurais pas qu'ils accordent tellement haut (serait d'environ 447 Hz) et utilisent ensuite un Pythagorean B ♭, je pense plutôt qu'ils utilisent un accordage substantiellement "rétréci", donc une corde C de violoncelle très haute 2 correspond à une corde électronique de violon 444 un peu plus ordinaire, peut-être à JI. Je suis presque sûr que le ré ouvert (proéminent dans l'arpège du 2e violon au début) est encore plus bas que ce standard, pour faire un joli son juste majeur avec le si de l'alto.

L'accordage général est alors toujours quelque part entre JI et Pythagorean, mais pas dans le même sens qu'avec 12-edo: des notes qui seraient nominalement identiques peuvent être intonées à des hauteurs différentes, selon le contexte musical.

Kurt Sassmannshaus a fait quelques belles vidéos sur l'intonation générale des cordes.


1 Notez que ce ton est en fait souvent remplacé par le b ♭ de Pythagore inférieur qui joue des motifs vers le bas en sol mineur, mais pas dans l'harmonie verticale.

2 D'autant plus que le violoncelle ouvert C a plutôt tendance à monter quand joué fort.

#4
+3
dan04
2014-06-05 18:58:25 UTC
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En supposant que A = 440 Hz, l'octave commençant au Do central a les fréquences (en Hz):

  • C ♭ = 244.1687412149232
  • C = 260.74074074074076
  • (B♯ 3 = 264.298095703125)
  • D ♭ = 274.6898338667886
  • C♯ = 278.4375
  • D = 293.3333333333333
  • E ♭ = 309.02606310013715
  • D♯ = 313.2421875
  • F ♭ = 325.5583216198976
  • E = 330.0
  • F = 347.65432098765433
  • E♯ = 352.3974609375
  • G ♭ = 366.2531118223848
  • F♯ = 371.25
  • G = 391.1111111111111
  • A ♭ = 412.0347508001829
  • G♯ = 417.65625
  • A = 440.0
  • B ♭ = 463.53909465020575
  • A♯ = 469.86328125
  • B = 495.0
  • (C 5 = 521.4814814814815)
  • B♯ = 528.59619140625

Ceci est obtenu à partir de la formule f = f0 * (3/2) ^ n , où f0 est la fréquence de référence et n est le nombre de pas le long du cercle des cinquièmes. Puis multipliez ou divisez par 2 si nécessaire pour obtenir toutes les notes dans la même octave.

le C suivant, par opposition à B #, serait-il 521,4 comme deux fois le C original? Sinon, qu'est-ce qui ne va pas, car une octave doit être exactement le double de la fréquence de la «racine». Et en quoi B # diffère-t-il de C?
Le prochain C serait, oui, mais Pythagorean Tuning n'a pas d'harmoniques. B # est défini comme 12 quintes parfaites (rapport de 3: 2) au-dessus de C (comptez-les: C, G, D, A, E, B, F #, C #, G #, D #, A #, E #, B #), donc vous obtenir (3/2) ^ 12. Si vous ramenez ensuite cela de 6 octaves (par exemple, divisez par 2 six fois de plus), vous obtenez: (3 ^ 12) / (2 ^ 18) = 531441/262144 ~ 2,02729, ce qui n'est pas égal à 2. Si vous multipliez ce nombre par la fréquence de départ de C, vous obtenez la valeur indiquée ici. Cette différence est connue sous le nom de «virgule de Pythagore» et constitue un problème majeur que tous les systèmes de réglage doivent résoudre.
Bien que cela explique correctement comment vous pouvez trouver une note fondamentale arbitraire dans le réglage de Pythagore, cela ne répond pas si ce serait une bonne idée de le faire. En effet, je dirais que ce n'est pas une bonne idée.
#5
+1
Mark Lutton
2014-06-08 06:56:31 UTC
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Utilisez les fréquences des cordes ouvertes pour les notes de la gamme jouée dessus, et calculez la tonique à partir de là.

Vous faites probablement cela automatiquement lorsque vous jouez, de sorte qu'un sol aigu excite les vibrations sympathiques sur la corde de sol et rend le son plus riche.

C'est une excellente réponse, si je comprends bien. Pourriez-vous s'il vous plaît l'élargir avec un exemple ou deux?


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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