Les intervalles entre les notes sont "égaux" pas dans le sens où la différence en Hz entre eux est la même, mais le ratio a entre eux est le même. Disons que g est un demi-ton plus haut que f , alors g = af .

  Remarque Hz Ratio a à la note précédente, arrondie à 3 décimales A4 440,00A # 4466,16 1,059 (466,16 / 440,0 = 1,059, et ainsi de suite dans la colonne) B4 493,88 1,059C5 523,25 1,059C # 5554,37 1,059D5 587,33 1,059D # 5622,25 1,059E5 659,25 1.059F5 698.46 1.059F # 5 739.99 1.059G5 783.99 1.059G # 5 830.61 1.059A5 880.00 1.059  

Cela peut être plus facile à comprendre quand on pense à la fréquence des octaves. Le nombre de Hz entre les octaves est différent (220, 440, 880, 1760, etc.), mais le rapport de 2: 1 est toujours le même. Le même concept s'applique aux notes de la gamme.

Mathématiquement, nous divisons une octave (rapport 2: 1) en 12 pas égaux (rapport égal, c'est-à-dire a ^ 12 = 2 ). En utilisant une calculatrice scientifique, nous pouvons résoudre a = 2 ^ (1/12) = 1.0594630943592952645618252949463 , qui est (presque) le rapport exact entre deux demi-pas.

La division des notes a à voir avec la perception humaine et la psychoacoustique. Une description de la perception humaine est la loi de Weber-Fechner, dans laquelle un être humain percevra des changements égaux dans certaines entrées sensorielles, telles que le niveau sonore ou la hauteur sonore, non par le niveau absolu ou la différence de valeur, mais par le rapport du changement. par exemple. des valeurs plus grandes nécessitent un changement proportionnellement plus grand pour que le changement soit perçu (s'il est petit) ou perçu comme à peu près le même, dans une certaine plage raisonnable (par exemple audible, mais ne causant pas de dommages à l'oreille, etc.)

Ainsi, pour un intervalle d'un demi-ton (quatrième, cinquième, etc.) pour sonner de la même manière, quelle que soit la note de base à partir de laquelle on commence, dans l'échelle de tempérament égal, les notes ne doivent pas différer par des différences de fréquence absolues égales (comme cela serait créé par un Hz égal deltas entre les notes), mais par différences de rapport égales (la 12ème racine de 2, de sorte que douze multiplications égales seront égales à une octave).

par exemple l '«égalité» en division égale doit être en proportion égale, et non en valeur absolue additive.

Que se passe-t-il si vous descendez vers le bas par les mêmes étapes:

• 440Hz
• 1 cran: 403,33Hz
• 2 pas vers le bas: 366,67 Hz
• 3 pas vers le bas: 330.Hz
• ...
• 11 pas vers le bas: 36,67 Hz
• 12 étapes vers le bas: 0Hz
• 13 étapes vers le bas: -36,67Hz

Donc, en utilisant votre logique "également divisé", nous sommes à zéro Hz après 12 étapes , et la prochaine étape au-delà est de moins 37 Hz! Qu'est ce que ça veut dire? Mais ok, suivons un peu votre logique ... quelle est la fréquence exactement au milieu de l'octave 440 - 880 Hz, ce serait 660 Hz. Qu'est-ce qu'une octave au-dessus? Ce serait 2 * 660 Hz = 1320 Hz. Quels seraient les pas dans cette octave - 660 Hz / 12 = 55 Hz? Ok, alors faisons un pas en avant à partir de 660 Hz, soit 660 Hz + 55 Hz = 715 Hz. Mais attendez ... le pas était censé être 37 Hz, pas 55 Hz ??? La taille de votre pas dépend-elle des points de début et de fin de l'octave? Ou faut-il un saut soudain à 880 Hz - les pas en dessous de 880 seraient 440/12, mais au-dessus de 880, ils seraient 880/12? D'où vient un tel diviseur, est-il ancré dans la nature? Je pensais que A = 440 Hz n'était qu'une convention convenue, pas une loi de la nature.

D'où avez-vous obtenu le 880Hz? En multipliant par 2, soit une octave plus haut. Je suppose que la même chose doit s'appliquer à n'importe quelle fréquence, pas seulement 440Hz? Par exemple, une octave plus haut que 880 Hz doit être 880 Hz * 2? Et toute autre fréquence comme 1000Hz ... une octave au-dessus qui doit être 2000Hz. Si l'intervalle d'une octave est calculé par multiplication, comment d'autres intervalles pourraient-ils être calculés avec addition?

Alors, demandez-vous: si F1 et F2 sont les fréquences de deux demi-tons consécutifs, quelle est la relation entre F1 et F2, si (F1 * 2) et (F2 * 2) doivent avoir la même relation?

Vous recherchez une fonction f (F) tel que f appliqué 12 fois donne 2 * F.

 f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f))))))))))))) = 2 * F  pré>
 Si vous augmentez d'un demi-ton à partir de F, vous obtenez une fréquence f (F). La fréquence une octave au-dessus de celle-ci est 2 * f (F). 
 
 Si vous  d'abord  monter d'une octave, vous obtenez F * 2. Et si vous augmentez d'un demi-ton à partir de cela, vous obtenez f (F * 2), qui devrait être la même fréquence, donc: 
 
 2 * f (F) = f (2 * F) 
 
 À quoi pourrait ressembler la fonction  f ? 
 
 De la ligne d'objet "pourquoi les différences hertz ne sont pas les mêmes mais l'élément 12e de deux?" Je suppose que vous savez déjà que les demi-tons consécutifs ont un rapport de 2 ^ (1/12). 

Une manière simple est de regarder les ratios comme suggéré ci-dessus. On peut diviser un intervalle également arithmétiquement de telle sorte que la longueur (taille, ou plus techniquement "mesure") de chaque sous-intervalle soit identique. Diviser un intervalle arithmétiquement en 12 morceaux (je peux expliquer les 12 mais il faut plus de maths.) Donne, 1 = 12/12, 13/12, 14/12, 15/12, 16/12, 17/12, 18 / 12, 19/12, 20/12, 21/12, 22/12, 22/12, 24/12 = 2. Cependant, l'audition des gens semble (expérimentalement) distinguer les rapports de fréquences plutôt que les différences comme étant plus identiques. Par exemple (en prenant A = 440cps), le cinquième au-dessus de A est E à 660cps et non 19/12 * 440 = 696,666 ....

Si nous voulons des rapports égaux pour chaque demi-pas, au lieu de ( 2-1) / 12, nous 2 ^ (1/12). Le fait est que le rapport de G à C est constant pour tous les cinquièmes (A-D, C-F, etc.). Depuis l'antiquité, le rapport d'une quinte est de 3: 2 (ou 3/2 fois la fréquence de la note la plus basse.) Cela compense la division d'une corde en intervalles et l'écoute de la fréquence des deux morceaux plus courts. (A part: Vincenzo Galilei a suggéré d'utiliser 18/17 comme approximation de la douzième racine de deux; c'est remarquablement bon.)

Cependant: pour le travail de calcul, nous pouvons utiliser des logarithmes; le logarithme d'un rapport est la différence des logarithmes des constituants de ce rapport. On divise l'octave en 1200 centièmes (la 1200e racine de 2) et attribue 100 centièmes au demi-ton de tempérament égal. Cela permet de calculer facilement (au moins en utilisant un crayon et du papier au lieu d'une calculatrice) un intervalle dimensionné pour des réglages variables.

Ainsi, même si nos oreilles entendent par rapport (expérimentalement), nous pouvons calculer par rapport ou ajout. Wiki a un tas d'articles qG (quod Google par analogie avec qv) qui donnent une explication plus complète.

Une façon simple de le regarder est peut-être de regarder un manche de guitare. Une octave y est divisée en 12 parties - égales dans la mesure où chaque frette est à un demi-ton de sa voisine. Mais en regardant attentivement, il est assez évident que chaque frette n'a pas la même taille. En fait, la onzième frette fait presque la moitié de la taille de la première, de la noix à la frette 1. Allez plus loin, et la 12e (octave) fait en fait la moitié de la taille de la première.

Votre hypothèse est-ce qu'ils auraient tous la même taille - un douzième de la demi-longueur de la corde ouverte? Était-ce le cas, que se passerait-il à la case 13? Et à part, chaque frette produirait une note désaccordée. Il doit donc y avoir un rapport de chaque frette par rapport à sa voisine, comme indiqué dans d'autres bonnes réponses.

Commencez par considérer la division égale des octaves en une partie. Autrement dit, pensez à changer la hauteur par octaves uniquement.

Si nous commençons par A1 = 55 Hz, nous avons les hauteurs suivantes:

 Pitch Frequency -------- -------- A1 55 Hz A2 110 Hz A3 220 Hz A4 440 Hz A5 880 Hz ... 

Vous pouvez voir que lorsque vous augmentez la hauteur d'un égal additif montant, vous augmentez la fréquence d'un facteur multiplicatif égal. Autrement dit, chaque fois que vous augmentez la hauteur d'une octave, vous doublez la fréquence. Cela signifie que la relation entre la hauteur et la fréquence est logarithmique .

À partir de là, il est assez facile de conclure que pour diviser l'octave en un certain nombre de parties égales, vous besoin de trouver le facteur qui, multiplié par lui-même ce nombre de fois, donne 2. En d'autres termes, le facteur de fréquence correspondant à une division de l'octave en n parties est le nième racine de 2.

Notre système de notes est une échelle logarithmique pour la fréquence. Une échelle logarithmique transforme des fractions égales en distances égales. Vous pouvez définir un tempérament égal comme une taille de pas constante de 1/12 sur l'échelle de fréquence log_2 .

En revenant à l'échelle linéaire, ceci signifie qu'un demi-ton se traduit par un facteur de 2 ^ (1/12) (la douzième racine de deux).

La raison pour cela, le son d'un intervalle dépend de la façon dont les spectres harmoniques des deux nœuds correspondent .

L'octave a la particularité unique que toutes les harmoniques de la note la plus élevée correspondre avec une certaine harmonique de la note inférieure. De même, si vous avez une quinte parfaite (facteur 3/2), chaque deuxième harmonique de la note supérieure coïncide avec chaque troisième harmonique de la note inférieure. Des relations similaires existent pour le quatrième parfait (facteur 4/3), le maire troisième (5/4) et le maire sixième (5/3). Et ainsi de suite. Le modèle de correspondance des harmoniques définit le son de l'intervalle, et les harmoniques sont définies par des facteurs de fréquence .

Ainsi, seule une échelle logarithmique peut être utilisée pour décrire intervalles bien (notre système de notes). Et par conséquent, le tempérament égal doit être défini sur l'échelle logarithmique.

Si une octave est définie par ceci:

• doublement de la fréquence
• 12 étapes

Pourquoi la façon de se déplacer d'une clé à l'autre être régi par une règle différente (c'est-à-dire se déplacer le long d'une courbe différente dans un diagramme X, Y) que de déplacer environ 12 touches, ce qui n'est rien d'autre que d'appliquer la règle de clé à clé 12 fois? est une fonction qui dicte comment passer d'une touche à l'autre, qui est définie par les termes ci-dessus. Ce que vous voulez faire est de vous déplacer linéairement d'une touche à l'autre, ce qui contredit la définition ci-dessus. La courbe n'est pas une ligne, elle n'est pas définie comme une addition de quelque chose, mais comme un doublage (multiplication) sur un certain nombre de touches (12) .Une octave au-dessus de 110 Hz vaut 220. Mais une octave au-dessus de 440, pas 330 - vous n'ajoutez pas de nombre (qui obtiendrait des pas égaux), vous multipliez (la taille de pas linéaire augmente à mesure que vous montez). multiplication pas d'une touche à la suivante, f est la fréquence de départ, et 2 * f est une octave au-dessus:

  f * x * x * ... * x = 2 * f | 12 étapes, soit 1 étape (multiplication) appliquée 12 foisf * x ^ 12 = 2 * f | diviser par fx ^ 12 = 2 | résoudre pour xx = 2 ^ (1/12)  

i.e. 12ème racine de 2. Voir l'image ci-dessous: La courbe orange suit cette règle de 110 Hz à 880 Hz, avec tous les demi-pas de ton entre les deux La courbe bleue est ce qui se passerait si vous essayiez de satisfaire à vos deux exigences: Doublement de fréquence par octave, mais aussi en allant par pas égaux (c'est-à-dire linéairement) d'une octave à l'autre.Les deux courbes se rencontrent à chaque octave: 110, 220, 440, 880.Voyez comment cette ligne bleue ne suit pas une fonction lisse mais est plutôt reconstitué des segments linéaires? Je ne pense pas que vous vous attendriez à ce que cela semble naturel et uniforme, augmentant ainsi la fréquence pour les demi-tons;) Pour monter en douceur et satisfaire le "doublement de la fréquence par octave", vos demi-tons doivent être sur cette courbe orange (et les sous-demi-tons comme les centimes aussi, bien sûr, c'est-à-dire que 100 centièmes ne sont pas non plus espacés équidistance)

Voici une autre réponse essayant d'aider à comprendre aussi la question aux personnes qui ne peuvent pas faire face aux ratios et autres termes abstraits:

Imaginez que vous avez un ton de fréquence de 12 Hz (une corde ondulant 12 fois /second). Comment faut-il accorder les 12 demi-pas entre l'octava (24 Hz), pour que les différences entre tous les demi-pas soient égales?

La question implique: Si la plage entre l'octava est de 12 Hz, pourquoi la différence entre les 12 demi-pas n'est-elle pas toujours juste 1 Hz?

racine = 12Hz

seconde mineure 13Hz

seconde majeure 14Hz

.

.

.

.

quinte parfaite à 18 Hz

.

.

.

septième majeure: 23Hz

octave: 24

Nous pouvons voir que la différence entre la première la moitié 12Hz et 13Hz est juste 1/10 de 12Hz (10% de l'octava entier), alors que la différence supplémentaire entre l'octava 24Hz et le demi-ton précédent (23Hz) aurait été presque seulement un 1/20 (= 5%) de la différence entre le demi-ton supérieur suivant au-dessus de l'octave sera 2Hz de plus - parce que cela doit être un 1/10 de l'octava suivant de 48Hz, car la différence entre ocatava '(24Hz) et octava' '(48Hz) est de 24Hz! (48-24 = 24) et un demi-pas de 1/12 entre octava 'et octava' 'sera égal à 2?

De cela, nous pouvons déduire que les différences entre les demi-pas ne sont pas supplémentaires de 1 / 12 mais proportionnel en multipliant chaque demi-pas par 1/12.

J'espère que ce n'est pas un bourdonnement et une confusion. TLDR?

Monter une octave ne signifie pas ajouter 440 Hz; cela signifie plutôt multiplier par 2. Chaque fois que vous montez d'un demi-ton, vous multipliez par le même montant; vous n'ajoutez pas le même montant.