Question:
Si un tempérament égal divise une octave en 12 parties égales, pourquoi les différences de hertz ne sont-elles pas les mêmes, mais les douzièmes de deux?
Tukkan
2019-10-11 20:08:25 UTC
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Prenons une hauteur de 440Hz A et une 880Hz A une octave plus haut.
Si nous divisons l'espace entre 440Hz et 880Hz en 12 parties égales, nous aurions:

[440Hz, 476.6, 513.2 ... 880Hz.]

Et cela semble également divisé.Pourquoi dit-on également divisé si les différences entre les notes sont 12e sur 2?

Parce que «égal» fait référence à une progression géométrique et non à une progression arithmétique.
Le rapport de fréquence de ** ANY ** 2 notes N notes séparées est le même. C'est parce que toutes les notes sont basées sur un rapport de fréquences. Si vous utilisez des espacements de même amplitude, les rapports entre les notes varient continuellement.
Une progression géométrique est basée sur la multiplication et non sur l'addition. Ainsi, les clés consécutives ne diffèrent pas par l'addition de 1/12 de la fréquence, mais par multiplication par la 12ème racine de 2.
Il y a un graphique de hauteur / fréquence sur la réponse suivante: https: //music.stackexchange.com/questions/39992/why-does-it-take-700-cents-to-get-to-a-perfect- 5e-qui-est-3-2-un-et-demi / 39995 # 39995
Dix réponses:
#1
+38
Sagebrush Gardener
2019-10-11 22:26:31 UTC
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Les intervalles entre les notes sont "égaux" pas dans le sens où la différence en Hz entre eux est la même, mais le ratio a entre eux est le même. Disons que g est un demi-ton plus haut que f , alors g = af .

  Remarque Hz Ratio a à la note précédente, arrondie à 3 décimales A4 440,00A # 4466,16 1,059 (466,16 / 440,0 = 1,059, et ainsi de suite dans la colonne) B4 493,88 1,059C5 523,25 1,059C # 5554,37 1,059D5 587,33 1,059D # 5622,25 1,059E5 659,25 1.059F5 698.46 1.059F # 5 739.99 1.059G5 783.99 1.059G # 5 830.61 1.059A5 880.00 1.059  

Cela peut être plus facile à comprendre quand on pense à la fréquence des octaves. Le nombre de Hz entre les octaves est différent (220, 440, 880, 1760, etc.), mais le rapport de 2: 1 est toujours le même. Le même concept s'applique aux notes de la gamme.

Mathématiquement, nous divisons une octave (rapport 2: 1) en 12 pas égaux (rapport égal, c'est-à-dire a ^ 12 = 2 ). En utilisant une calculatrice scientifique, nous pouvons résoudre a = 2 ^ (1/12) = 1.0594630943592952645618252949463 , qui est (presque) le rapport exact entre deux demi-pas.

Je pense que l'OP sait déjà que c'est la douzième racine de deux. Il dit que dans la ligne d'objet, "pourquoi les différences hertz ne sont pas les mêmes mais l'élément 12e de deux?"
Je pense que cette réponse est juste. C'est la raison. Mais je pense que l'expression "la différence est le même rapport" semble un peu maladroite. Puis-je suggérer «le ratio est le même» comme amélioration?
#2
+28
hotpaw2
2019-10-11 22:50:48 UTC
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La division des notes a à voir avec la perception humaine et la psychoacoustique. Une description de la perception humaine est la loi de Weber-Fechner, dans laquelle un être humain percevra des changements égaux dans certaines entrées sensorielles, telles que le niveau sonore ou la hauteur sonore, non par le niveau absolu ou la différence de valeur, mais par le rapport du changement. par exemple. des valeurs plus grandes nécessitent un changement proportionnellement plus grand pour que le changement soit perçu (s'il est petit) ou perçu comme à peu près le même, dans une certaine plage raisonnable (par exemple audible, mais ne causant pas de dommages à l'oreille, etc.)

Ainsi, pour un intervalle d'un demi-ton (quatrième, cinquième, etc.) pour sonner de la même manière, quelle que soit la note de base à partir de laquelle on commence, dans l'échelle de tempérament égal, les notes ne doivent pas différer par des différences de fréquence absolues égales (comme cela serait créé par un Hz égal deltas entre les notes), mais par différences de rapport égales (la 12ème racine de 2, de sorte que douze multiplications égales seront égales à une octave).

par exemple l '«égalité» en division égale doit être en proportion égale, et non en valeur absolue additive.

Cette réponse cloue l'erreur dans la pensée derrière la question - les intervalles sont définis par la perception humaine, et la perception humaine des intervalles est logarithmique quant à la fréquence, et non linéaire. L'octave au-dessus de 440 est 880. L'octave en dessous de 440 est de 220. Même chose pour tous les intervalles - intervalle égal signifie le même ** rapport ** de fréquences. Là où cela devient intéressant, c'est que les 4e et 5e parfaits ne sont pas égaux respectivement à 5 et 7 demi-pas bien tempérés.
[lien externe avec des exemples audio] (https://www.audiocheck.net/soundtests_nonlinear.php): à quoi ressemble une séquence à espacement linéaire par rapport à une séquence logarithmique
IMHO la meilleure réponse et celle-ci ensemble font une explication parfaite
#3
+20
piiperi Reinstate Monica
2019-10-11 20:40:58 UTC
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Que se passe-t-il si vous descendez vers le bas par les mêmes étapes:

  • 440Hz
  • 1 cran: 403,33Hz
  • 2 pas vers le bas: 366,67 Hz
  • 3 pas vers le bas: 330.Hz
  • ...
  • 11 pas vers le bas: 36,67 Hz
  • 12 étapes vers le bas: 0Hz
  • 13 étapes vers le bas: -36,67Hz

Donc, en utilisant votre logique "également divisé", nous sommes à zéro Hz après 12 étapes , et la prochaine étape au-delà est de moins 37 Hz! Qu'est ce que ça veut dire? Mais ok, suivons un peu votre logique ... quelle est la fréquence exactement au milieu de l'octave 440 - 880 Hz, ce serait 660 Hz. Qu'est-ce qu'une octave au-dessus? Ce serait 2 * 660 Hz = 1320 Hz. Quels seraient les pas dans cette octave - 660 Hz / 12 = 55 Hz? Ok, alors faisons un pas en avant à partir de 660 Hz, soit 660 Hz + 55 Hz = 715 Hz. Mais attendez ... le pas était censé être 37 Hz, pas 55 Hz ??? La taille de votre pas dépend-elle des points de début et de fin de l'octave? Ou faut-il un saut soudain à 880 Hz - les pas en dessous de 880 seraient 440/12, mais au-dessus de 880, ils seraient 880/12? D'où vient un tel diviseur, est-il ancré dans la nature? Je pensais que A = 440 Hz n'était qu'une convention convenue, pas une loi de la nature.

D'où avez-vous obtenu le 880Hz? En multipliant par 2, soit une octave plus haut. Je suppose que la même chose doit s'appliquer à n'importe quelle fréquence, pas seulement 440Hz? Par exemple, une octave plus haut que 880 Hz doit être 880 Hz * 2? Et toute autre fréquence comme 1000Hz ... une octave au-dessus qui doit être 2000Hz. Si l'intervalle d'une octave est calculé par multiplication, comment d'autres intervalles pourraient-ils être calculés avec addition?

Alors, demandez-vous: si F1 et F2 sont les fréquences de deux demi-tons consécutifs, quelle est la relation entre F1 et F2, si (F1 * 2) et (F2 * 2) doivent avoir la même relation?

Vous recherchez une fonction f (F) tel que f appliqué 12 fois donne 2 * F.

 f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f))))))))))))) = 2 * F  pré>

Si vous augmentez d'un demi-ton à partir de F, vous obtenez une fréquence f (F). La fréquence une octave au-dessus de celle-ci est 2 * f (F).

Si vous d'abord monter d'une octave, vous obtenez F * 2. Et si vous augmentez d'un demi-ton à partir de cela, vous obtenez f (F * 2), qui devrait être la même fréquence, donc:

 2 * f (F) = f (2 * F) 

À quoi pourrait ressembler la fonction f ?

De la ligne d'objet "pourquoi les différences hertz ne sont pas les mêmes mais l'élément 12e de deux?" Je suppose que vous savez déjà que les demi-tons consécutifs ont un rapport de 2 ^ (1/12).

@Tim Je pense que c'est ce que signifie l'OP. Il veut dire qu'il essaie de comprendre les choses et qu'il veut de l'aide pour le faire. En regardant la ligne d'objet, il a déjà la solution, et il veut trouver la bonne perspective pour comprendre pourquoi c'est comme ça. C'est ce que j'essaie de fournir. YMMV, mais j'ai pu comprendre cela au lycée en écrivant un programme de lecteur de musique, n'ayant que l'information qu'une octave plus élevée se multiplie par deux, et appliquer la même relation 12 fois vous y amène, une octave plus haut. :)
@Tim: Cela signifie-t-il que j'obtiens des tailles de pas incompatibles si je considère que mes octaves sont de C à C?
Une fréquence négative signifie que la musique est jouée à l'envers, révélant des messages sataniques cachés.
descendre par étapes égales pour obtenir zéro ou négatif: une manière très claire d'expliquer que cela ne fonctionnera pas de cette façon, beau compliment à la réponse d'@SagebusherGardener's
#4
+6
ttw
2019-10-12 08:21:36 UTC
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Une manière simple est de regarder les ratios comme suggéré ci-dessus. On peut diviser un intervalle également arithmétiquement de telle sorte que la longueur (taille, ou plus techniquement "mesure") de chaque sous-intervalle soit identique. Diviser un intervalle arithmétiquement en 12 morceaux (je peux expliquer les 12 mais il faut plus de maths.) Donne, 1 = 12/12, 13/12, 14/12, 15/12, 16/12, 17/12, 18 / 12, 19/12, 20/12, 21/12, 22/12, 22/12, 24/12 = 2. Cependant, l'audition des gens semble (expérimentalement) distinguer les rapports de fréquences plutôt que les différences comme étant plus identiques. Par exemple (en prenant A = 440cps), le cinquième au-dessus de A est E à 660cps et non 19/12 * 440 = 696,666 ....

Si nous voulons des rapports égaux pour chaque demi-pas, au lieu de ( 2-1) / 12, nous 2 ^ (1/12). Le fait est que le rapport de G à C est constant pour tous les cinquièmes (A-D, C-F, etc.). Depuis l'antiquité, le rapport d'une quinte est de 3: 2 (ou 3/2 fois la fréquence de la note la plus basse.) Cela compense la division d'une corde en intervalles et l'écoute de la fréquence des deux morceaux plus courts. (A part: Vincenzo Galilei a suggéré d'utiliser 18/17 comme approximation de la douzième racine de deux; c'est remarquablement bon.)

Cependant: pour le travail de calcul, nous pouvons utiliser des logarithmes; le logarithme d'un rapport est la différence des logarithmes des constituants de ce rapport. On divise l'octave en 1200 centièmes (la 1200e racine de 2) et attribue 100 centièmes au demi-ton de tempérament égal. Cela permet de calculer facilement (au moins en utilisant un crayon et du papier au lieu d'une calculatrice) un intervalle dimensionné pour des réglages variables.

Ainsi, même si nos oreilles entendent par rapport (expérimentalement), nous pouvons calculer par rapport ou ajout. Wiki a un tas d'articles qG (quod Google par analogie avec qv) qui donnent une explication plus complète.

#5
+4
Tim
2019-10-12 15:38:54 UTC
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Une façon simple de le regarder est peut-être de regarder un manche de guitare. Une octave y est divisée en 12 parties - égales dans la mesure où chaque frette est à un demi-ton de sa voisine. Mais en regardant attentivement, il est assez évident que chaque frette n'a pas la même taille. En fait, la onzième frette fait presque la moitié de la taille de la première, de la noix à la frette 1. Allez plus loin, et la 12e (octave) fait en fait la moitié de la taille de la première.

Votre hypothèse est-ce qu'ils auraient tous la même taille - un douzième de la demi-longueur de la corde ouverte? Était-ce le cas, que se passerait-il à la case 13? Et à part, chaque frette produirait une note désaccordée. Il doit donc y avoir un rapport de chaque frette par rapport à sa voisine, comme indiqué dans d'autres bonnes réponses.

@AlbrechtHügli Les frettes sur un manche de guitare illustrent la relation physique entre les notes d'une gamme égale, mais elles ne l'expliquent pas. L'explication va dans le sens inverse: l'échelle explique l'espacement des frettes.
Je suis d'accord, mais c'est une bonne analogie et montre que les différences des étapes ne sont pas continues.
#6
+4
phoog
2019-10-13 00:57:59 UTC
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Commencez par considérer la division égale des octaves en une partie. Autrement dit, pensez à changer la hauteur par octaves uniquement.

Si nous commençons par A1 = 55 Hz, nous avons les hauteurs suivantes:

 Pitch Frequency -------- -------- A1 55 Hz A2 110 Hz A3 220 Hz A4 440 Hz A5 880 Hz ... 

Vous pouvez voir que lorsque vous augmentez la hauteur d'un égal additif montant, vous augmentez la fréquence d'un facteur multiplicatif égal. Autrement dit, chaque fois que vous augmentez la hauteur d'une octave, vous doublez la fréquence. Cela signifie que la relation entre la hauteur et la fréquence est logarithmique .

À partir de là, il est assez facile de conclure que pour diviser l'octave en un certain nombre de parties égales, vous besoin de trouver le facteur qui, multiplié par lui-même ce nombre de fois, donne 2. En d'autres termes, le facteur de fréquence correspondant à une division de l'octave en n parties est le nième racine de 2.

Bug de Stackexchange, est-ce que quelqu'un d'autre voit cela? Le contenu du tableau disparaît après le chargement de la page.
@whatsisname oui, je le vois aussi de manière incohérente. Je vais essayer de modifier le tableau pour voir si je peux contourner le problème.
#7
+4
cmaster - reinstate monica
2019-10-13 02:32:16 UTC
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Notre système de notes est une échelle logarithmique pour la fréquence. Une échelle logarithmique transforme des fractions égales en distances égales. Vous pouvez définir un tempérament égal comme une taille de pas constante de 1/12 sur l'échelle de fréquence log_2 .

En revenant à l'échelle linéaire, ceci signifie qu'un demi-ton se traduit par un facteur de 2 ^ (1/12) (la douzième racine de deux).


La raison pour cela, le son d'un intervalle dépend de la façon dont les spectres harmoniques des deux nœuds correspondent .

L'octave a la particularité unique que toutes les harmoniques de la note la plus élevée correspondre avec une certaine harmonique de la note inférieure. De même, si vous avez une quinte parfaite (facteur 3/2), chaque deuxième harmonique de la note supérieure coïncide avec chaque troisième harmonique de la note inférieure. Des relations similaires existent pour le quatrième parfait (facteur 4/3), le maire troisième (5/4) et le maire sixième (5/3). Et ainsi de suite. Le modèle de correspondance des harmoniques définit le son de l'intervalle, et les harmoniques sont définies par des facteurs de fréquence .

Ainsi, seule une échelle logarithmique peut être utilisée pour décrire intervalles bien (notre système de notes). Et par conséquent, le tempérament égal doit être défini sur l'échelle logarithmique.

Bonne idée de parler d'échelle logarithmique. Vous pouvez même afficher un graphique avec un espacement égal sur une échelle logarithmique et un avec un espacement irrégulier sur une échelle linéaire, comme un manche de guitare.
L'équivalence de classe de hauteur des octaves n'est pas liée aux harmoniques. Il est apparent même dans les ondes sinusoïdales, qui n'ont pas de connotations. À l'inverse, une tonalité «réelle» de 220 Hz a une harmonique à 660 Hz, mais 660 Hz n'est pas une classe de hauteur équivalente à 220 Hz.
@phoog 660 Hz est une octave + un cinquième au-dessus de 220 Hz, et il se mélange parfaitement. Vous avez même un arrêt pour cet intervalle dans de nombreux orgues à tuyaux car il se marie si bien. L'organiste utilise cet arrêt pour changer le son de l'arrêt fondamental, pas pour obtenir une transposition. Aussi, avez-vous déjà essayé d'accorder deux sinus sur une octave? Vous pouvez le faire si vous faites passer le signal à travers un ampli de guitare déformant (cela ajoute au moins les fréquences `f1-f0` et` f0 + f1` au signal), mais je sais que je ne pourrai pas faites-le précisément sans aide technologique.
@cmaster, bien sûr, il se marie parfaitement, mais ce n'est pas * équivalent * comme le sont les 440 et 880. Ils sont tous les deux A, mais 660 et 1980 sont E et B.Trois instruments jouant des hauteurs en parallèle séparés par des facteurs de deux sons plus unifiés que trois instruments séparés par des facteurs de trois, même si les instruments sont des générateurs d'onde sinusoïdale (relativement facile à réaliser avec la synthèse de forme d'onde ou les orgues Hammond). Les arrêts d'orgue à tuyaux pour les harmoniques non octaves ne se mélangent que dans certains enregistrements. Un diaphragme de 5 1/3 'avec un seul arrêt de 8' est susceptible de ressembler à des quintes parallèles plutôt qu'à un son plus riche.
@phoog Pour un arrêt de 5 1/3 ', vous avez besoin de l'arrêt de 16' pour se fondre. Et, oui, un arrêt de 3 1/5 'et un arrêt de 5 1/3' se marient parfaitement avec un arrêt de 16 '. Ce qui rend difficile l'utilisation de cette combinaison, c'est que les arrêts sont généralement activés ou désactivés sans rien entre les deux, et les arrêts hauts sont tout simplement trop forts dans la combinaison. Une fois, j'ai joué un orgue électronique qui permettait de tirer en partie sur un stop, me permettant de réduire le volume des jeux aigus, et j'ai utilisé cette combinaison assez fréquemment pour son joli son. Avec seulement des arrêts marche / arrêt, vous devrez tirer encore plus de 16 'arrêts pour obtenir le bon volume relatif.
@cmaster mais cela ne fait que renforcer mon argument: ces stops ne se fondent que dans le ton de certaines inscriptions; sinon, ils sonnent comme des sons supplémentaires distincts * avec des notes différentes. * Mais avec des arrêts d'octave, peu importe qu'ils se fondent dans le son ou sonnent comme des sons supplémentaires distincts, car dans ce dernier cas, les sons supplémentaires sont de la même classe de hauteur.
@phoog 5 1/3 'à 16' est exactement le facteur de 3. Et 3 1/5 'à 16' est exactement le facteur de 5. Les deux sont des facteurs entiers. Si vous associez ces deux registres au registre 8 ', vous obtenez les facteurs fractionnaires 1,5 (c'est le cinquième) et 2,5 (une octave + une tierce majeure), respectivement, ce qui n'est pas ce que votre premier commentaire sur 220 Hz et 660 Hz était environ (facteur entier 3). Dessiner les registres 8 'et 5 1/3' sans le registre 16 'sonnera comme des quintes parallèles pour des raisons évidentes ...
Laissez-nous [continuer cette discussion dans le chat] (https://chat.stackexchange.com/rooms/99852/discussion-between-phoog-and-cmaster).
#8
+1
sktpin
2019-10-15 15:39:12 UTC
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Si une octave est définie par ceci:

  • doublement de la fréquence
  • 12 étapes

Pourquoi la façon de se déplacer d'une clé à l'autre être régi par une règle différente (c'est-à-dire se déplacer le long d'une courbe différente dans un diagramme X, Y) que de déplacer environ 12 touches, ce qui n'est rien d'autre que d'appliquer la règle de clé à clé 12 fois? est une fonction qui dicte comment passer d'une touche à l'autre, qui est définie par les termes ci-dessus. Ce que vous voulez faire est de vous déplacer linéairement d'une touche à l'autre, ce qui contredit la définition ci-dessus. La courbe n'est pas une ligne, elle n'est pas définie comme une addition de quelque chose, mais comme un doublage (multiplication) sur un certain nombre de touches (12) .Une octave au-dessus de 110 Hz vaut 220. Mais une octave au-dessus de 440, pas 330 - vous n'ajoutez pas de nombre (qui obtiendrait des pas égaux), vous multipliez (la taille de pas linéaire augmente à mesure que vous montez). multiplication pas d'une touche à la suivante, f est la fréquence de départ, et 2 * f est une octave au-dessus:

  f * x * x * ... * x = 2 * f | 12 étapes, soit 1 étape (multiplication) appliquée 12 foisf * x ^ 12 = 2 * f | diviser par fx ^ 12 = 2 | résoudre pour xx = 2 ^ (1/12)  

i.e. 12ème racine de 2. Voir l'image ci-dessous: La courbe orange suit cette règle de 110 Hz à 880 Hz, avec tous les demi-pas de ton entre les deux La courbe bleue est ce qui se passerait si vous essayiez de satisfaire à vos deux exigences: Doublement de fréquence par octave, mais aussi en allant par pas égaux (c'est-à-dire linéairement) d'une octave à l'autre.Les deux courbes se rencontrent à chaque octave: 110, 220, 440, 880.Voyez comment cette ligne bleue ne suit pas une fonction lisse mais est plutôt reconstitué des segments linéaires? Je ne pense pas que vous vous attendriez à ce que cela semble naturel et uniforme, augmentant ainsi la fréquence pour les demi-tons;) Pour monter en douceur et satisfaire le "doublement de la fréquence par octave", vos demi-tons doivent être sur cette courbe orange (et les sous-demi-tons comme les centimes aussi, bien sûr, c'est-à-dire que 100 centièmes ne sont pas non plus espacés équidistance)

logarithmic (musical) curve vs. linear pieces as the OP liked to do

#9
  0
Albrecht Hügli
2019-10-14 13:58:07 UTC
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Voici une autre réponse essayant d'aider à comprendre aussi la question aux personnes qui ne peuvent pas faire face aux ratios et autres termes abstraits:

Imaginez que vous avez un ton de fréquence de 12 Hz (une corde ondulant 12 fois /second). Comment faut-il accorder les 12 demi-pas entre l'octava (24 Hz), pour que les différences entre tous les demi-pas soient égales?

La question implique: Si la plage entre l'octava est de 12 Hz, pourquoi la différence entre les 12 demi-pas n'est-elle pas toujours juste 1 Hz?

racine = 12Hz

seconde mineure 13Hz

seconde majeure 14Hz

.

.

.

.

quinte parfaite à 18 Hz

.

.

.

septième majeure: 23Hz

octave: 24

Nous pouvons voir que la différence entre la première la moitié 12Hz et 13Hz est juste 1/10 de 12Hz (10% de l'octava entier), alors que la différence supplémentaire entre l'octava 24Hz et le demi-ton précédent (23Hz) aurait été presque seulement un 1/20 (= 5%) de la différence entre le demi-ton supérieur suivant au-dessus de l'octave sera 2Hz de plus - parce que cela doit être un 1/10 de l'octava suivant de 48Hz, car la différence entre ocatava '(24Hz) et octava' '(48Hz) est de 24Hz! (48-24 = 24) et un demi-pas de 1/12 entre octava 'et octava' 'sera égal à 2?

De cela, nous pouvons déduire que les différences entre les demi-pas ne sont pas supplémentaires de 1 / 12 mais proportionnel en multipliant chaque demi-pas par 1/12.

J'espère que ce n'est pas un bourdonnement et une confusion. TLDR?

#10
  0
Michael Hardy
2019-10-15 07:04:59 UTC
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Monter une octave ne signifie pas ajouter 440 Hz; cela signifie plutôt multiplier par 2. Chaque fois que vous montez d'un demi-ton, vous multipliez par le même montant; vous n'ajoutez pas le même montant.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 4.0 sous laquelle il est distribué.
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